В феврале 2000 года случилась заменательная дата - 02.02.2000. В записи даты - только четные цифры. Последний раз такое событие произошло 28.08.888. Последний прожитый нами нечетный день был 19.11.1999. Следующий будет 01.01.3111. Цифр вообще можно набрать прелюбопытных вволю. Если, скажем, обратиться к двоичному счислению, то 1111.111.11111111111 1111:11111:11111 это 15:31:31 15 июля 2047 года.

Число 13452 образовано из пяти последовательных цифр (расположенных не по порядку) так, что число образованное первыми двумя цифрами, умноженное на среднюю цифру, дает число, образованное последними двумя цифрами.

Число 947658 образовано из шести последовательных цифр (расположенных не по порядку) так, что число образованное первыми двумя цифрами, умноженное на среднюю цифру, дает число, образованное последними тремя цифрами.

Данные числа составлены из пяти первых нечетных чисел 1, 3, 5, 7 и 9 следующим образом: произведение числа, образованного из первых двух цифр, на число, образованное двумя последними цифрами, минус число стоящее в середине равно числу, составленному из повторений одной и той же цифры.

1444 - наименьший квадрат целого числа, оканчивающийся наиболее длинной последовательностью одинаковых цифр. Нуль не считается допустимой цифрой.

Наибольшее число, которое при умножении на 365 дает число, содержащее восемь цифр, из которых первые четыре дважды повторяются.

Аналогичные примеры есть

но 273863 - наибольшее, удовлетворяющее условию.

Частное, получающееся при перестановке в конец первой цифры делимого, можно найти для любого делителя и любой. Ниже два примера.

Чтобы разделить 8 101 265 822 784 на 8, достаточно переставить первую цифру числа в конец.

Чтобы разделить 7 101 449 275 362 318 840 579 на 7, достаточно переставить первую цифру числа в конец.

В отличие от предыдущего случая, в данном варианте решение существует не всегда. Так, например, для делителя 2 решения не существует. Однако не все так плохо.

Чтобы разделить 857142 или 428571 на 3, достаточно переставить последнюю цифру каждого из чисел в начало.

Произведение и сумма некоторых чисел дает в результате числа, состоящие из одинаковых цифр:

Вообще, вводя девятки после первой цифры чисел из двух последних примеров, можно получить минимум два аналогичных результата при любом желаемом числе цифр:

Квадраты некоторых целых чисел можно читать как обычным образом, так и справа налево. Некоторые из них найти очень легко. Например, квадраты чисел 1, 11, 111 и 1111 равны соответственно 1, 121, 12 321, 1 234 321. Все получившиеся числа - палиндромы, и данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему 9. Однако существуют и другие случаи, которые вполне можно назвать нерегулярными.
Например,

Во всех приведенных выше примерах число цифр квадрата было нечетным. Квадрат числа 836, равный 698 896, содержит четное число цифр. Среди всех квадратов, содержащих данное четное число цифр, палиндромический квадрат наименьший.

Число 1 234 567 890 разлагается на множители следующим образом:

Существует четыре числа, составленных из всех десяти цифр, таким образом, что эти числа делятся на все числа от 2 до 18:

Наименьшее число, которое записывается только с помощью цифр 3 и 7, и при этом обладает следующим свойством: само число и сумма его цифр делится на 3 и 7 - число 3 333 377 733.

Иногда, чтобы извлечь кубический корень из числа, достаточно посчитать сумму цифр этого числа. Ниже приведены все такие числа:

Числа, составленные из трех различных цифр, каждое из которых делится на квадрат суммы своих цифр:

Произведение чисел 123 456 789 и 989 010 989 равно 122 100 120 987 654 321. Что интересно, в девяти младших разрядах полученного числа стоят цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (именно в таком порядке).

Рассмотрим все цифры кроме нуля (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и разобьем их на три группы таким образом, что полученные числа представляют из себя арифметическую прогрессию.
Например, 147, 258, 369 - прогрессия с разностью 111.

Существует как минимум четыре способа проделать вышеописанную операцию, чтобы в каждом случае три числа образовывали арифметическую прогрессию, а среднее число оставалось одним и тем же:

где разность равна соответственно 267, 273, 327 и 333.

В. Тебо в книге "Parmi les Nombers Curieux" показал, что существует 760 таких прогрессий. Кроме числа 456 (и его перестановок), среднее число может быть любой перестановкой следующих групп их трех цифр: 258, 267, 348 и 357.

Число 201 599 999 798 400 представляет из себя сумму всех чисел, которые можно составить из девяти цифр (0 исключен), используя каждую цифру в каждом числе один и только один раз.

Число 1 026 753 849 - наименьший квадрат, содержащий все десять цифр от 0 до 9, причем каждую цифру - лишь по одному разу.

Число 9 814 072 356 - наибольший квадрат, содержащий все десять цифр от 0 до 9, причем каждую цифру - лишь по одному разу.

Данные числа и только они содержат вместе со своими квадратами по одному и только одному разу каждую из девяти цифр, исключая нуль.

Используя каждую из девяти цифр, исключая нуль, один и только один раз, составим простые числа таким образом, что сумма этих чисел была минимальной. Эта сумма равна 207.

Если 32 547 891 умножить на 6 (таким образом, в данной операции использованы все девять цифр от 1 до 9), то получится произведение, равное 195 287 346, также содержащее девять цифр по одному разу. Еще примеры такого рода:

Существуют пары чисел, которые при сложении и умножении дают одинаковый результат, например: 1,1 и 11.

Впрочем, подобных чисел бесконечно много:

Вообще, для любого n парное ему число m, удовлетворяющее описанному свойству, можно вычислить по формуле

Два наименьших числа, таких что разность их квадратов представляет собой куб, а разность кубов - квадрат: 10 и 6.

Существуют четыре числа, если не считать 1, совпадающие с суммой кубов своих цифр:

Существует только два трехзначных квадрата (без нулей), которые, будучи выписанными подряд, образуют шестизначное число, в свою очередь представляющее собой квадрат:

Число 2519 таково, что если разделить его на 2, то в остатке получится 1; если разделить на 3, то в остатке получится 2; если разделить на 4, то в остатке получится 3; если разделить на 5, то в остатке получится 4; если разделить на 6, то в остатке получится 5; если разделить на 7, то в остатке получится 6; если разделить на 8, то в остатке получится 7; если разделить на 9, то в остатке получится 8; если разделить на 10, то в остатке получится 9:

Для некоторых натуральных чисел n можно построить последовательность, в которой каждое их чисел 1, 2, 3, ..., n встречается дважды, причем второе появление каждого из чисел r происходит на r-м месте после его первого появления.
Примеры:

Такая последовательность не существует, если остаток числа n при делении на 4 равен 2 или 3.

Часто, бывает нетрудно определить, что больше: a^b или b^a. Очевидно, что

Однако потребуется некоторые усилия, чтобы доказать, что

.

Сумма всех цифр, используемых при записи всех чисел, первое из которых единица, а последнее миллиард, составляет 40 500 000 001.

Существуют арифметические прогрессии, где несколько последовательных членов прогрессии являются к тому же еще и простыми числами. Например, 10 последовательных членов арифметической прогрессии

являются простыми числами, так же как и 13 членов

все являются простыми числами.

Если рассматривать арифметические прогрессии с разностью 6, единственный случай, когда в такой прогрессии пять последовательных чисел:

Можно также доказать, что в любой арифметической прогрессии из натуральных чисел с разностью, меньшей 2000, не может находиться 12 последовательных простых чисел.

Каждый член последовательности

является точным квадратом.

4 - наибольшее целое число n, для которого существует число x, одновременно удовлетворяющее неравенствам k < x^k < k + 1 (k = 1, 2, 3, ..., n),

При этом x может принимать любое значение между и .

Пусть четное количество единиц, записанных друг за другом, образуют число A, а вдвое меньшее количество четверок - число B. Тогда число A + B + 1 всегда является полным квадратом.

Если m и n - два натуральных числа, то одно из чисел , не больше, чем .

Предположим, что натуральные числа разделены на группы следующим образом:

и что каждая вторая группа отброшена. Тогда сумма чисел в первых k оставшихся группах всегда равна k⁴.
Например, для k = 3 имеем

Для x = 1 + i, y = 1 - i и z = 2, где i = - мнимая единица, выполняются следующие соотношения:

Можно обобщить этот факт на более общий случай. При указанном выборе чисел x, y и z равенство

справедливо для всех простых чисел p > 3.

Число 144 - это записанное в обратном порядке число 441. Тоже самое верно и для квадратных корней этих чисел:

= 12,
= 21

Подобных пар чисел бесконечно много: 169 и 961, 10404 и 40401, 1004004 и 4004001, 100040004 и 400040001, 1060922660121 и 1210662290601 и т.д.

Литература

1. Дьюдени Г.Э. 520 головоломок. М., "Мир", 1975.
2. Хонсбергер Р. Математические изюминки. М., Наука, 1992. (Библиотечка "Квант". Вып 83).